ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

2. Верные и значащие числа. Запись приближенных значений.

3. Вычисление погрешностей величин и арифметических действий

4. Способы оценки погрешности приближенных вычислений

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, обычно, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются или в итоге измерения, или в итоге вычислений. Почти всегда значения величин ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X - четкое значение некой величины, а х - лучшее из узнаваемых ее приближенных значений. В данном случае погрешность (либо ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно символ этой ошибки не имеет решающего значения, потому рассматривают ее абсолютную величину:

(1)

Величина ех, именуемая ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ абсолютной погрешностью приближенного значения х, почти всегда остается неведомой, потому что для ее вычисления необходимо четкое значение X. Совместно с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по способности меньшее) число для которого справедливо неравенство

(2)

Число в данном случае именуется предельной абсолютной погрешностью ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, либо границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким макаром, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число , не наименьшее абсолютной погрешности ех этого числа.

Пример:Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили нескончаемую дробь, не применимую для практических ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ расчетов. Разумеется, но, что как следует, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , применяемого МК заместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к четкому значению X по недочету и излишку:

(3)

которые могут рассматриваться как одна из вероятных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

(4)

В ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ почти всех случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и лучшие значения приближения х,получаются на практике в итоге измерений. Пусть, к примеру, в итоге повторных измерений одной и той же величины хполучены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В данном случае естественно принять за лучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Разумеется также, что граничными значениями ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ величины хв данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности хможет быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя полностью судить о точности измерений либо вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ошибки ех к модулю значения X(когда оно непонятно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (либо границей относительной погрешности) приближенного числа именуется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

(5)

Формула (5) позволяет по мере надобности выражать абсо­лютную погрешность через относительную:

(6)

Относительную погрешность выражают обычно ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ в процентах.

ПримерОпределим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Потому что π=3,1415926…., то |π-3,14|<0,0015927<0,0016= по формуле связи получаем таким макаром

2. Верные и значащие числа. Запись приближенных значений

Цифра числа именуется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, вкотором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 как следует цифра 8-верная

Пример ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле числа 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все числа являются вер­ными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК личное четких чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, так как

Рис. Приближение числа ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, просто убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная настоящего значения допущенной ошибки, вычислитель в схожей ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превосходит единицы самого младшего из изображенных ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ на индикаторе разряда результата. Как следует, в приобретенном итоге все числа верны.

1-ая отброшенная (неправильная) цифра нередко именуется непонятной.

Молвят, что приближенное данное записано верно, если в его записи все числа верные. Если число записано верно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ о точности этого числа. Пусть, к примеру, записано приближенное число а = 16,784, в каком все числа верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превосходит 0,001. Это означает, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.

Разумеется, что верная запись приближенных ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ данных не только лишь допускает, да и обязует выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. К примеру, в записи = 109,070 нуль в конце значит, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как надо из записи, можно считать Для сопоставления можно ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ увидеть, что значение с = 109,07 является наименее четким, потому что из его записи приходится принять, что

Означающими цифрами в записи числа именуются все числа в его десятичном изображении, хорошие от нуля, и нули, если они размещены меж означающими цифрами либо стоят в конце для выражения верных символов.

Примера) 0,2409 - четыре ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ значащие числа; б) 24,09 - четыре значащие числа; в) 100,700 - 6 означающих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, обычно, устроена таким макаром, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это значит, что если, к примеру, ЭВМ указывает итог 247,064 и в то же время понятно, что в этом ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ итоге верными должны быть восемь означающих цифр, то приобретенный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений нередко происходит округление чисел, т.е. подмена чисел их значениями с наименьшим количеством означающих цифр. При округлении появляется погрешность, именуемая погрешностью округления. Пусть х -данное число, а х1 - итог округления. Погрешность округления определяется как ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ модуль разности прежнего и нового значений числа:

(7)

В отдельных случаях заместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.

ПримерВыполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Вышло автоматическое округление нескончаемой десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При всем этом можно принять

Цифра числа именуется верной в серьезном ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в каком стоит эта цифра.


pri-vipolnenii-zadanij-s-kratkim-otvetom-v1v4-zapishite-otvet-tak-kak-ukazano-v-tekste-zadaniya.html
pri-vipuske-odnoj-i-toj-zhe-produkcii.html
pri-viyavlenii-odnogo-iz-ukazannih-vishe-faktorov-master-vprave-prekratit-priem-i-prinyat-sootvetstvuyushie-meri-po-ustraneniyu-problemi.html