Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера.

Кафедра арифметики

Утверждены

Редакционно-издательским

Советом БГИТА

Протокол № 11 от

24.12.2004 г.

Методические указанияи задания к выполнению

расчетно-графической работы по теме:

"Приближенные способы решения

дифференциальных уравнений"

для студентов дневной формы обучения

всех специальностей

Брянск 2004

Составители: помощник Нечистик В.В.,

ст. педагог Тайц В.И.,

доцент Камозина О.В.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Евтюхов К.Н.

Рекомендованы редакционно-издательской Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. комиссией механического факультета

Протокол №1 от 28.09.2004г.

Приближенные способы решения дифференциальных уравнений.

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию узнаваемых функций. Потому принципиальное значение получают приближенные способы решения.

Есть два способа численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: способ Эйлера и способ Рунге-Кутта.

Способ Эйлера

Для данного уравнения 1-го порядка

(1)

можно составить таблицу приближенных Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. значений личного решения, удовлетворяющего исходному условию

(2)

либо приближенно вычертить интегральную кривую на неком отрезке[ ].

По способу Эйлера данный отрезок [ ] разбивается точками на n частичных отрезков.

На первом частичном отрезке [ ] разыскиваемая интегральная кривая, проходящая через известную точку M0( ) заменяется касательной к ней в точке

,

Откуда при выходит приближенное Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. значение искомого решения уравнения в точке

.

Дальше этим же методом для отрезка [ ] находим приближенное значение искомого решения в точке

.

Продолжая этот процесс, поочередно находим приближенные значения искомого решения в точках .

С повышением , при довольно малой длине частичных отрезков, этим способом можно добиться данной точности решения.

Данный отрезок [ ] комфортно поделить Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. на частичные отрезки схожей длины

(шаг).

Тогда все поочередные приближенные значения решения уравнения (1),удовлетворяющего исходному условию (2), рассчитываются по рекуррентной формуле

.

Таким макаром, по способу Эйлера интегральную кривую, проходящую через точку , подменяют ломаной (ломаной Эйлера), каждый отрезок которой проведен по направлению поля, определенного уравнением (1).Другими словами, от предшествующей верхушки ломаной к следующей двигаются по касательной Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. к интегральной кривой, проведенной через исходную точку каждого отрезка.

Недочеты способа Эйлера:

1. Малая точность при значимом шаге большой объем работ при малом шаге.

2. Систематическое скопление ошибок.

Потому способ Эйлера используют только для грубых приближений.

Расчет ведется по последующей схеме:

-1

2. Способ Рунге-Кутта

Способ Рунге-Кутта более почаще употребляется,чем способ Эйлера Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера., хотя и просит большего объёма вычислений, но это окупается завышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с огромным шагом, т.е. для получения результатов с схожей точностью в способе Эйлера будет нужно существенно наименьший шаг, чем в способе Рунге-Кутта.

Геометрически этот способ для задачки (1),(2) также как и Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. в способе Эйлера заключается в том, что на малом отрезке [ ] интегральная кривая уравнения (1) заменяется прямой, проходящей через точку но в базу положен более узкий, чем в способе Эйлера, подход к определению направления этого отрезка прямой.

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По способу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. в последующей точке делается по формулам:

где

(3)

Шаг расчета можно поменять при переходе от одной точки к другой. Для контроля корректности выбора шага советуем вычислить дробь

Величина не должна превосходить нескольких сотых. В неприятном случае шаг следует уменьшить.

Все вычисления комфортно располагать по схеме:

+

Порядок наполнения таблицы:

1) Записываем в Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. первой строке таблицы данные значения .

2) Вычисляем умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

3) Записываем во 2-ой строке таблицы .

4) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

5) Записываем в третьей строке таблицы .

6) Вычисляем , умножаем на , заносим в таблицу в качестве .

7) Записываем в четвертой строке таблицы .

8) Вычисляем , умножаем на и заносим Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. в таблицу в качестве .

9) В столбец записываем .

10) Суммируем числа, стоящие в столбце , делим на 6 и заносим в таблицу в качестве .

11) Вычисляем .

Потом все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за исходную точку .

Содержание РГР "Приближенные способы решения дифференциальных уравнений"

Студенту предлагается выполнить последующую работу:

1 . Четкое решение Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. дифференциального уравнения.

2. Приближенное решение дифференциального уравнения способом Эйлера.

3. Приближенное решение дифференциального уравнения способом Рунге-Кутта.

Варианты и эталон выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

19) .

20) .

21) .

22) .

23) .

24) .

25) .

26) .

27) .

28) .

29) .

30) .

Эталон выполнения РГР

Задание. Отыскать решение дифференциального уравнения с исходным условием на отрезке , приняв за шаг .

Четкое решение

-линейное уравнение.

Подстановка:

При найдем

- четкое решение дифференциального уравнения.

Приближенное решение дифференциального уравнения Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера. по способу Эйлера.

Т.к. то


pri-vvedenii-nastoyashih-trebovanij-prekrashaetsya-dejstvie-pravil-bezopasnosti-v-neftyanoj-i-gazovoj-promishlennosti-utverzhdennih-v-1994-g-razdel-obshie-trebovaniya-podrazdel-oblast-primeneniya.html
pri-vzrive-okolo-ulyanovskoj-tec-pogib-chelovek-gazeta-rg-srednyaya-volga-internet-versiya-22112012.html
pri-zabolevaniyah-i-povrezhdeniyah.html